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  • Repère - Repère affine

    Formulaire de report

    Définition

    Repère

    Définition :
    Un repère (affine) est la donnée d'un triplet \((O,\vec u,\vec v)\) où \(O\) est un point, et \(\vec u\) et \(\vec v\) sont deux vecteurs (abstraits) indépendants (i.e. \((\vec u,\vec v)\) est une base du plan euclidien \({\Bbb R}^2\))

    (Point, Vecteur, Base, Plan cartésien - Plan euclidien)

    Types de repères

    Repère orthonormé

    Repères particuliers

    Repère canonique

    Propriétés

    Application qui associe un vecteur aux coordonnées

    Propriété :
    Si \((O,\vec u,\vec v)\) est un repère, l'application $$(x,y)\mapsto {{O+x\vec u+y\vec v}}$$ est une bijection de \({\Bbb R}^2\) dans le plan cartésien
    Si de plus le repère est orthonormé, c'est une isométrie

    (Repère orthonormé, Isométrie, Coordonnées)

    Consigne: Montrer que si \((O,\vec u,\vec v)\) est un repère, l'application $$(x,y)\mapsto {{O+x\vec u+y\vec v}}$$ est une bijection de \({\Bbb R}^2\) dans le plan cartésien
    Si de plus le repère est orthonormé, c'est une isométrie

    Injection : conserve la longueur $$\begin{align} B(w_1)B(w_2)&=(O+w_1)(O+w_2)\\ &=\lVert\overrightarrow{O+w_1}-\overrightarrow{O+w_2}\rVert\\ &=\lVert\vec O+\vec w_1-\vec O+\vec w_2\rVert\\ &=\lVert\vec w_1-\vec w_2\rVert\end{align}$$

    Et de plus $$\begin{align}&P=O+O\vec P=B(O\vec P)\\ \implies&\forall P,\in T_\vec u(B)\end{align}$$
    Donc surjection, et donc bijection


  • Rétroliens :
    • Coordonnées
    • M44 - Géométrie
    • Repère barycentrique - Coordonnées barycentriques